Relatividad especial
En un tubo de rayos catódicos de televisor los electrones viajan al 30 % de la velocidad de la luz, y el GPS se desincronizaría once kilómetros por día si no corrigiera los efectos relativistas. La relatividad no es un tema exótico: está en el aparato.
01Dos postulados y todo lo demás
Einstein no agregó complicaciones: quitó una suposición. Ante el resultado nulo de Michelson-Morley, en lugar de inventar mecanismos para salvar el éter, lo declaró innecesario y postuló dos cosas.
| Postulado | Dice | Qué obliga a abandonar |
|---|---|---|
| Relatividad | Las leyes de la física son iguales en todo sistema inercial | La idea de un sistema privilegiado |
| Constancia de \( c \) | La luz viaja a \( c \) para todos los observadores | El tiempo absoluto y la suma simple de velocidades |
El segundo es el que duele. Si un observador persigue un pulso de luz a 0,9 c, debería verlo alejarse a 0,1 c; lo que mide es \( c \). Para que eso sea posible, lo que tiene que ceder es la medida del tiempo y del espacio. Todo lo demás sale de ahí, sin física nueva.
Movés la velocidad y aparecen todos los efectos a la vez. Los casos del selector son situaciones reales, y algunas están mucho más cerca que lo que uno espera.
02Dónde aparece en un aparato
La relatividad suele presentarse como un tema de astrofísica, y está adentro de varios aparatos corrientes.
| Caso | El efecto | Consecuencia |
|---|---|---|
| Tubo de rayos catódicos | Electrones al 30 % de \( c \) | La deflexión hay que calcularla con \( \gamma \) |
| GPS | Los relojes de los satélites corren distinto | 11 km de error por día si no se corrige |
| Muones atmosféricos | Llegan al suelo cuando no deberían | La prueba experimental más accesible |
| Magnetismo | Es la electrostática vista desde otro sistema | No son dos fenómenos: es uno |
Es el resultado más lindo de toda la unidad. Tomemos un cable con corriente, neutro: las cargas positivas de la red están quietas y los electrones se arrastran. Una carga externa también en reposo no siente nada. Pero si esa carga se mueve paralela al cable, desde su sistema las dos distribuciones de carga se contraen de manera distinta —porque tienen velocidades distintas respecto de ella— y el cable deja de ser neutro. Aparece una fuerza eléctrica neta. Eso es exactamente lo que en el laboratorio llamamos fuerza magnética. El magnetismo no es un fenómeno aparte: es lo que se ve de la electrostática cuando hay movimiento relativo, y \( c \) aparece en las ecuaciones de Maxwell justamente por eso.
03Masa y energía
La energía cinética clásica \( \tfrac12 mv^2 \) es el primer término del desarrollo de la relativista, y por eso funciona a baja velocidad. Al acercarse a \( c \) la diferencia se vuelve enorme: la expresión clásica sigue creciendo como un polinomio y la relativista se dispara, que es otra manera de decir que no se puede llegar a \( c \) con energía finita.
La última relación, \( E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2 \), incluye al fotón: con \( m_0 = 0 \) queda \( E = pc \), y de ahí sale que la luz tenga cantidad de movimiento sin tener masa. Esa es la presión de radiación de la unidad de ondas, y también el eslabón que la próxima unidad va a usar para el efecto fotoeléctrico.
Muchos libros hablan de una «masa que aumenta con la velocidad», \( m = \gamma m_0 \). Es una manera de escribir las cosas que funciona para el movimiento rectilíneo y confunde en el resto, y hoy se prefiere decir que la masa es invariante y que lo que cambia con la velocidad son la energía y la cantidad de movimiento. Si un texto usa masa relativista no está equivocado, pero conviene saber que es una convención vieja.
04En el laboratorio
Calcular la velocidad de los electrones en un tubo acelerados con 5, 15 y 25 kV, primero con la expresión clásica y después con la relativista. Tabular el error porcentual de la clásica en cada caso.
Calcular el atraso diario por velocidad orbital y el adelanto por gravedad de un satélite GPS. Obtener el neto y traducirlo a error de posición, sabiendo que la señal viaja a \( c \).
Con una vida media propia de 2,2 µs y velocidad 0,998 c, calcular cuánto recorrería un muón sin dilatación del tiempo y cuánto recorre con ella. Comparar con los 10 km que efectivamente atraviesa.
05Errores frecuentes
- Sumar velocidades como si nada. Vale a baja velocidad; cerca de \( c \) hay que usar la composición relativista.
- Creer que el efecto es «aparente». El tiempo medido es realmente distinto, y los muones lo demuestran.
- Olvidar cuál es el tiempo propio. \( \Delta t_0 \) es el que mide el reloj que viaja con el suceso.
- Usar \( \tfrac12 mv^2 \) con electrones acelerados. Arriba de unos pocos kV el error ya se nota.
- Pensar que la relatividad solo importa en astronomía. El GPS del teléfono la corrige cada día.
- Confundir masa con energía en reposo. \( m_0c^2 \) es energía; la masa es invariante.
06Autoevaluación
¿Cuáles son los dos postulados?
Que las leyes físicas son iguales en todo sistema inercial, y que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores.
¿Cuánto vale \( \gamma \) al 50 % de \( c \)?
1,155. Recién cerca del 87 % de \( c \) llega a 2.
¿Qué error acumularía el GPS sin corrección relativista?
Unos 38 microsegundos por día, que a la velocidad de la luz son más de once kilómetros.
¿Cuánto vale la energía en reposo del electrón?
511 keV. Por eso acelerarlo con 25 kV ya lo pone a un 4,9 % por encima de esa energía.
¿Qué relación vale para el fotón?
\( E = pc \), que sale de \( E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2 \) con masa nula.
¿Qué relación hay entre el magnetismo y la relatividad?
La fuerza magnética es la fuerza electrostática vista desde un sistema en movimiento: las densidades de carga se contraen distinto y el cable deja de verse neutro.
07Para ampliar
- Robert Eisberg y Robert Resnick. Física cuántica. Limusa. El apéndice de relatividad, orientado a lo que la física cuántica necesita después.
- Edward M. Purcell y David J. Morin. Electricidad y magnetismo. 3.ª ed., Cambridge University Press, 2016. El capítulo 5 deduce el campo magnético de la electrostática más relatividad. Es el mejor tratamiento que existe de esa idea.
- Neil Ashby. Relativity in the Global Positioning System. Living Reviews in Relativity, vol. 6, 2003. Todas las correcciones relativistas que un receptor GPS aplica, en detalle y con los números.