Ecuaciones de Maxwell
Maxwell combinó dos constantes medidas en experimentos de electrostática y de magnetismo, sin ninguna relación con la óptica, y le dio exactamente la velocidad de la luz. Esa coincidencia fue la prueba de que la luz es una onda electromagnética.
01Las cuatro
Todo lo que apareció en las unidades anteriores —Gauss, la ausencia de monopolos, Faraday y Ampère— cabe en cuatro ecuaciones. Maxwell no las descubrió todas: las reunió, y al hacerlo notó que a una le faltaba un término.
| Ecuación | Dice | Consecuencia práctica |
|---|---|---|
| Gauss eléctrica | Las cargas son fuentes de \( E \) | La jaula de Faraday |
| Gauss magnética | No hay cargas magnéticas | Las líneas de \( B \) se cierran siempre |
| Faraday | \( B \) variable crea \( E \) | Generadores, transformadores, inducción |
| Ampère-Maxwell | Las corrientes y \( E \) variable crean \( B \) | Que exista la onda electromagnética |
02La corriente de desplazamiento
El razonamiento de Maxwell es una de las deducciones más elegantes de la física, y se entiende con un capacitor cargándose. La ley de Ampère dice que la circulación de \( B \) alrededor de un lazo depende de la corriente que atraviesa cualquier superficie apoyada en ese lazo.
Si se elige una superficie plana que corta el cable, la corriente encerrada es \( I \). Pero si se elige una superficie con forma de bolsa que pasa entre las placas del capacitor, no la atraviesa ninguna corriente: ahí no hay cargas moviéndose. La misma ley da dos resultados distintos, y eso significa que estaba incompleta.
De esa simetría sale inmediatamente la onda: un campo eléctrico que cambia genera uno magnético que, al cambiar, genera uno eléctrico, y así indefinidamente, alejándose de la fuente sin necesitar medio alguno. Maxwell combinó las cuatro ecuaciones y encontró que la velocidad de esa perturbación era:
03Propagación en un medio
Dentro de un material, la permitividad y la permeabilidad cambian, y con ellas la velocidad:
Elegí el medio y la frecuencia. Aparecen la velocidad, la longitud de onda y la impedancia, y abajo el dato que decide un diseño: a partir de qué largo una pista deja de ser un cable y hay que tratarla como línea de transmisión.
Mientras la pista sea mucho más corta que la longitud de onda, la señal llega «al mismo tiempo» a los dos extremos y se la puede tratar como un nodo: eso es lo que supone todo circuito de parámetros concentrados. Cuando su largo se acerca a la décima parte de \( \lambda \), los extremos dejan de estar en fase, aparecen reflexiones y hay que diseñarla como línea de transmisión, con su impedancia característica y su terminación. En FR-4 la señal viaja a unos 15 cm por nanosegundo, y de ese número sale todo el diseño digital rápido.
04El espectro
Todas las ondas electromagnéticas son el mismo fenómeno y difieren solo en frecuencia. Los nombres son históricos: responden a cómo se las descubrió o para qué se las usa, no a ninguna diferencia física.
| Banda | Frecuencia | \( \lambda \) en el vacío | En electrónica |
|---|---|---|---|
| Red eléctrica | 50 Hz | 6000 km | Nunca radia: todo es campo cercano |
| Onda media | 1 MHz | 300 m | Antenas grandes, radiodifusión |
| VHF y UHF | 100 MHz a 1 GHz | 3 m a 30 cm | Televisión, radio móvil |
| Microondas | 2,4 GHz | 12,5 cm | Wi-Fi, Bluetooth, hornos |
| Infrarrojo | \( 3\times10^{13} \) Hz | 10 µm | Control remoto, termografía |
| Visible | \( 5\times10^{14} \) Hz | 0,5 µm | Fibra óptica, LED, fotodiodos |
La primera fila explica por qué una instalación de 50 Hz no irradia: con 6000 km de longitud de onda, cualquier cable de una casa es eléctricamente diminuto. Y la cuarta, por qué el Wi-Fi y el horno de microondas comparten banda: los 2,45 GHz son una frecuencia liberada de uso industrial, y ahí conviven los dos.
05En el laboratorio
Calentar una placa de chocolate sin plato giratorio y medir la distancia entre los puntos derretidos, que son los vientres de la onda estacionaria. Multiplicar por dos para obtener \( \lambda \) y por los 2,45 GHz del horno. Se llega a \( c \) con un error de pocos por ciento.
Enviar un pulso por un coaxial largo con el extremo abierto y medir con el osciloscopio el tiempo de ida y vuelta de la reflexión. Calcular la velocidad de propagación y obtener de ahí la permitividad del dieléctrico.
Con un generador de pulsos de flancos rápidos, observar la señal en el extremo de pistas o cables de largo creciente sin terminar. Identificar a partir de qué largo aparecen los escalones de reflexión y compararlo con \( \lambda/10 \).
06Errores frecuentes
- Creer que Maxwell descubrió las cuatro ecuaciones. Las reunió y le agregó a una el término que faltaba.
- Pensar que la corriente de desplazamiento es una corriente. No hay cargas moviéndose: es un campo eléctrico variable.
- Suponer que la onda necesita un medio. Se propaga en el vacío; eso fue lo revolucionario.
- Usar \( c \) dentro de un material. Ahí la velocidad es \( c/n \), y en FR-4 es casi la mitad.
- Tratar una pista larga como un nodo. Pasada la décima parte de \( \lambda \) hay que diseñarla como línea.
- Creer que las bandas del espectro son fenómenos distintos. Es el mismo, con distinta frecuencia.
07Autoevaluación
¿Qué le agregó Maxwell a la ley de Ampère?
La corriente de desplazamiento: un campo eléctrico variable produce campo magnético igual que una corriente.
¿Por qué esa corrección era necesaria?
Porque sin ella la ley daba dos resultados distintos según qué superficie se eligiera en un capacitor cargándose.
¿De dónde sale la velocidad de la luz?
De \( 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} \), dos constantes medidas sin ninguna relación con la óptica.
¿Cuánto vale la impedancia de onda del vacío?
377 ohms, que es \( \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \).
¿A qué velocidad viaja una señal por una pista de FR-4?
A unos 15 cm por nanosegundo: cerca de la mitad de la velocidad en el vacío.
¿Cuándo hay que tratar una pista como línea de transmisión?
Cuando su largo se acerca a la décima parte de la longitud de onda de la señal más rápida que lleva.
08Para ampliar
- Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería. 10.ª ed., Cengage, 2019. Las ecuaciones de Maxwell reunidas y la deducción de la onda electromagnética.
- Edward M. Purcell y David J. Morin. Electricidad y magnetismo. 3.ª ed., Cambridge University Press, 2016. El camino completo hasta Maxwell, con el argumento del capacitor desarrollado con cuidado.
- Howard Johnson y Martin Graham. High-Speed Digital Design: A Handbook of Black Magic. Prentice Hall, 1993. Qué pasa cuando una pista deja de ser un cable, escrito para quien diseña placas y no antenas.