Resolución por variables de estado
Un simulador puede mostrar un circuito que oscila y crece sin límite cuando el circuito real se asienta tranquilo. La forma de estado explica cómo simula un simulador, y por qué a veces se equivoca.
01Qué es el estado de un circuito
Para predecir qué va a hacer un circuito desde un instante en adelante no hace falta conocer toda su historia: alcanza con saber cuánta energía guarda cada elemento que puede guardarla. Esa información mínima es el estado, y en un circuito eléctrico tiene una elección natural: las tensiones de los capacitores y las corrientes de los inductores, que son justamente las magnitudes que no pueden saltar de golpe.
La cantidad de variables de estado es el orden del circuito: un RC es de primer orden, un RLC de segundo. Coincide con la cantidad de polos que se contaban en el plano \( s \).
02Las ecuaciones de estado
Escribiendo Kirchhoff de manera que cada ecuación despeje la derivada de una variable de estado, el circuito entero queda como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, en forma matricial:
Para el RLC serie de la unidad de respuesta transitoria, con \( x_1 = v_C \) y \( x_2 = i_L \):
03El plano de fases
Con dos variables de estado, el estado en cada instante es un punto del plano \( (v_C, i_L) \), y la evolución del circuito es una curva: la trayectoria. Un circuito sobreamortiguado llega al equilibrio en una curva sin vueltas; uno subamortiguado, en una espiral. Mirar la trayectoria muestra de un vistazo cómo se reparte la energía entre el capacitor y el inductor en cada momento.
04Resolver paso a paso: así simula un simulador
La forma de estado se presta para resolver el circuito numéricamente, avanzando de a pequeños pasos de tiempo \( h \). El método más simple, el de Euler, usa la derivada actual para dar el paso:
RLC serie de 1 mH y 100 nF conectado a 5 V. A la izquierda, el plano de fases; a la derecha, \( v_C(t) \). En gris la solución exacta, calculada con residuos; en color, la integración numérica con el método y el paso elegidos.
Los simuladores reales no usan Euler explícito sino métodos implícitos —trapezoidal, de Gear— que son estables con cualquier paso, y además ajustan \( h \) solos: lo achican donde la señal cambia rápido y lo agrandan donde no pasa nada. Cuando una simulación de SPICE aborta con «timestep too small», lo que está diciendo es que no encontró un paso suficientemente chico para seguir el circuito.
05Dónde aparece en la electrónica
| Caso | Qué aporta la forma de estado |
|---|---|
| Análisis transitorio en SPICE | Integra numéricamente las variables de estado de todo el circuito |
| Control de un convertidor conmutado | El modelo promediado en espacio de estado es la base del diseño del lazo |
| Circuitos no lineales o variantes en el tiempo | Donde Laplace no se aplica, la forma de estado sigue funcionando |
| Firmware de un filtro digital o un observador | Implementa directamente \( \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{A}_d\mathbf{x}_k + \mathbf{B}_d u_k \) en un microcontrolador |
06En el laboratorio
Calcular los autovalores de \( \mathbf{A} \) para R = 60 Ω y compararlos con los polos que da el laboratorio de respuesta transitoria para la misma resistencia.
Con el laboratorio de esta página, encontrar para cada valor de R el paso a partir del cual Euler se vuelve inestable, y verificar el criterio \( h < 2\zeta/\omega_n \).
Programar en Python o en C el método de Euler para el RLC y graficar \( v_C(t) \). Repetir con el método trapezoidal y comparar la estabilidad con el mismo paso.
07Errores frecuentes
- Elegir como estado magnitudes que pueden saltar. La corriente de un capacitor o la tensión de un inductor no son buenas variables de estado.
- Contar mal el orden. Dos capacitores en paralelo son un solo estado; el orden es la cantidad de elementos almacenadores independientes.
- Confiar en una simulación sin mirar el paso. Un resultado que oscila y crece puede ser un artefacto numérico y no el circuito.
- Creer que achicar el paso siempre alcanza. Mejora la precisión, pero con métodos explícitos y polos muy separados el costo se vuelve prohibitivo; por eso existen los implícitos.
08Autoevaluación
¿Qué variables de estado se eligen en un circuito eléctrico?
Las tensiones de los capacitores y las corrientes de los inductores.
¿Qué relación hay entre la matriz A y los polos?
Los autovalores de A son los polos del circuito.
¿Qué forma tiene la trayectoria de un circuito subamortiguado en el plano de fases?
Una espiral que converge al punto de equilibrio.
¿Cuándo es estable el método de Euler para el RLC?
Cuando \( h < 2\zeta/\omega_n \).
¿Por qué los simuladores usan métodos implícitos?
Porque son estables con cualquier paso, lo que permite pasos grandes donde la señal cambia poco.
09Para ampliar
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. La representación en espacio de estado, su solución y la relación con la función de transferencia.
- Leon O. Chua y Pen-Min Lin. Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits. Prentice Hall, 1975. El libro clásico sobre cómo los simuladores integran las ecuaciones de estado y por qué eligen métodos implícitos.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. La introducción a las variables de estado en circuitos, con ejemplos resueltos.